1. 简介

图结构也是一种非线性数据结构。生活中有很多图结构的例子,比如通信网络、交通网络、人际关系网络等都可以归结为图结构。图结构的每个节点可以互相关联,比树结构更加复杂

下图就是一个简单的图结构:

2. 相关概念

  • 1.有向图

  • 2. 无向图

  • 3. 顶点的度:连接顶点的边的数量称为该顶点的度。在有向图中又分为入度和出度。

  • 4. 邻接顶点:指一条边的两个顶点。在有向图中分为入边邻接顶点和出边邻接顶点。

  • 5. 无向完全图:每两个顶点之间就有一条边。

  • 6. 有向完全图:每两个顶点之间存在方向相反的两条边。对于一个N个节点的有向完全图,边数为N(N-1),是无向完全图的两倍。

  • 7. 子图:类似子集合,子图的顶点和边都是原图的。

  • 8. 路径:两个顶点之间的连线,可以有多条,每条长度可能不一样。路径又可以分为三种形式:

    • 简单路径:一条路径上的顶点不重复出现;

    • 环:路径的第一个顶点和最后一个顶点相同叫做环,有时也成回路;

    • 简单回路:路径的第一个顶点和最后一个顶点相同,其余顶点不重复的叫做简单回路。

  • 9. 连通、连通图和连通分量:

    • 如果两个顶点之间有路径,那么这两个顶点是连通的;

    • 无向图中任意两个顶点都是连通的,称为连通图;

    • 无向图中极大连通子图称为连通分量。

    连通图的连通分量有且仅有一个,就是它本身。

  • 10. 强连通图和强连通分量:

    • 如果两个顶点之间有路径,那么这两个顶点是连通的,注意,因为有向,有时可能是Vi -> Vj是连通的,Vj -> Vi不是连通的;

    • 如果有向图中任意两个顶点都是连通的,那么就是强连通图;

    • 有向图的最大强连通子图称为该图的强连通分量。

    强连通图的强连通分量有且仅有一个,就是它本身。

  • 11. 权:在边上表示的数值,这个数值就是该边的权。无向图中加入权值称为无向带权图,有向图中加入权值称为有向带权图。权在生活中可以表示交通图中道路的长度,人际关系中代表亲密度等。

  • 12. 网(network):即边上带有权值的图的另一个名称,网与实际应用更为贴切。

3. 图的存储

在实际应用中,通常使用数组来单独保存顶点信息,然后采用二维数组保存顶点之间的关系。这种保存顶点之间关系的数组称为邻接矩阵。

char[] Vertex = new char[MaxNum];  //保存顶点信息
int[][] EdgeWeight = new int[MaxNum][MaxNum];  //保存边

这张无向图的边就可以这样表示

Vertex[0] = 1;
Vertex[1] = 2;
Vertex[2] = 3;
Vertex[3] = 4;
Vertex[5] = 5;

边通过EdgeWeight二维数组表示,有边的话存1,没有的话存0。比如1和2之间的表可以表示为:

//数组下角标从0开始的
EdgeWeight[0][1] = 1;
EdgeWeight[1][0] = 1;

这个图的邻接矩阵:

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

因为是无向图,所以左下和右上是对称的,有向图就不是了。

4. 代码实例

接下来用一个代码实例来看下树的结构初始化,清空以及输出遍历操作:

package com.wangjun.datastructure;

public class GraphTest {
    private final int MaxNum = 5; // 最大顶点数

    public static void main(String[] args) {
        GraphTest gt = new GraphTest();
        GraphMatrix gm = gt.new GraphMatrix();
        gt.createGraph(gm);
        gt.outGraph(gm);
        gt.deepTraGraph(gm);
    }


    // 定义邻接矩阵结构
    class GraphMatrix {
        char[] Vertex = new char[MaxNum]; // 保存顶点信息,数字或者字母
        int GType; // 类型,0:无向图,1:有向图
        int vertexNum; // 顶点的数量
        int EdgeNum; // 边的数量
        int[][] EdgeWeight = new int[MaxNum][MaxNum]; // 保存边的权
        int[] isTrav = new int[MaxNum]; // 遍历标志
    }

    // 创建邻接矩阵图
    // 这里创建手动创建一个5节点的图,对应上面的图
    public void createGraph(GraphMatrix gm) {
        gm.Vertex[0] = '1';
        gm.Vertex[1] = '2';
        gm.Vertex[2] = '3';
        gm.Vertex[3] = '4';
        gm.Vertex[4] = '5';

        gm.GType = 0;
        gm.vertexNum = 5;
        gm.EdgeNum = 6;
        gm.EdgeWeight[0][1] = 1;
        gm.EdgeWeight[1][0] = 1;
        gm.EdgeWeight[0][2] = 1;
        gm.EdgeWeight[2][0] = 1;
        gm.EdgeWeight[0][4] = 1;
        gm.EdgeWeight[4][0] = 1;
        gm.EdgeWeight[2][4] = 1;
        gm.EdgeWeight[4][2] = 1;
        gm.EdgeWeight[1][3] = 1;
        gm.EdgeWeight[3][1] = 1;
        gm.EdgeWeight[3][4] = 1;
        gm.EdgeWeight[4][3] = 1;
    }

    // 清空图
    public void clearGraph(GraphMatrix gm) {
        for (int i = 0; i < MaxNum; i++) {
            for (int j = 0; i < MaxNum; j++) {
                gm.EdgeWeight[i][j] = 0;
            }
        }
    }

    // 显示图,即显示邻接矩阵
    public void outGraph(GraphMatrix gm) {
        // 输出顶点信息
        System.out.println("顶点:");
        for (int i = 0; i < MaxNum; i++) {
            System.out.print(gm.Vertex[i] + "  ");
        }
        System.out.println();
        // 输出边的信息
        System.out.println("边:");
        for (int i = 0; i < MaxNum; i++) {
            for (int j = 0; j < MaxNum; j++) {
                System.out.print(gm.EdgeWeight[i][j] + "  ");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    /*
     * 遍历图,即逐个访问图的顶点,使用isTrav数组标志该节点是否被遍历过 
     * 常用的遍历图方法:广度优先遍历法和深度优先遍历法 此函数以深度优先遍历法为例
     * 深度遍历法类似于树的先序遍历,具体执行过程如下: 
     * 1)从isTrav数组中选择一个未被访问的顶点Vi,将其标记为1,表示已访问过
     * 2)从Vi的一个未被访问过的邻接点出发进行深度优先遍历 
     * 3)重复步骤2),直至图中所有和Vi有路径相通的顶点都被访问过
     * 4)重复步骤1)至3)的操作,直至图中所有的顶点都被访问过 
     * 深度优先遍历法是一个递归过程
     */
    public void deepTraGraph(GraphMatrix gm) {
        // 清除顶点访问标志
        for (int i = 0; i < gm.vertexNum; i++) {
            gm.isTrav[i] = 0;
        }
        System.out.println("深度优先遍历节点:");
        for (int i = 0; i < gm.vertexNum; i++) {
            // 若该节点未遍历
            if (gm.isTrav[i] == 0) {
                deepTraOne(gm, i);// 调用函数遍历
            }
        }
    }

    //深度遍历的执行函数
    public void deepTraOne(GraphMatrix gm, int n) {
        // 从第n个节点开始,深度遍历图
        gm.isTrav[n] = 1;
        // 输出节点数据
        System.out.println("node:" + gm.Vertex[n] + "  ");

        // 添加处理节点的操作
        for (int i = 0; i < gm.vertexNum; i++) {
            if (gm.EdgeWeight[n][i] != 0 && gm.isTrav[i] == 0) {
                deepTraOne(gm, i);// 递归进行遍历
            }
        }
    }

}

Last updated